Um contra todos

"The king was impressed, and grandly declared that he would pay the mathematician the largest amount that the latter could name. The poor mathematician was not just clever but also keen to shatter the king's pride. He said, "Put one gold coin on the first square of a chess board, double that for the second square, double of the second square on the third square, and so on till the 64th square. I want twice the amount on the 63rd square. That is the biggest number I know."

"- Cinema. Fácil? Outra vez fácil? Isto assim não tem piada nenhuma. Este gajo é um ignorante!
- Qual destas actrizes... participou no filme Annie Hall... do Woody Allen... é a Diane Keaton, claro!
- Mas ele não sabe, de certeza. Pois não, olha para ele já em pânico. É burro pá! O jogo todo a pedir perguntas fáceis. Venha outro!
- Agora vem ela para o lugar dele, se acertar... Acertou, fixe. Vamos ver uma mulher a jogar!
- Fácil? Ela quer uma pergunta fácil? Mas porque é que pedem sempre perguntas fáceis? Isto irrita-me...
- É a primeira pergunta... é sempre assim.
- Mas porquê? Quais são as regras disto? Eles ganham mais à medida que o número da pergunta aumenta?
- Não, o que ganham é sempre igual ao que já têm, multiplicado pelo número de concorrentes que erram...
- E é indiferente se a pergunta é fácil ou difícil...
- Então... então qual será a melhor estratégia? Pedir perguntas difíceis ao início e depois fáceis quando já houver poucos, ou o contrário?
- Primeiro as fáceis pá! Quanto menos fores eliminando, melhor, porque depois multiplicas mais vezes.
- Ahn?
- Deixa-me pensar. Imagina que eliminas logo todos. Ficas com 50 vezes... começas com quanto?
- Duzentos e cinquenta euros.
- Aliás, o melhor até é eliminares um a um...
- Um a um? Ora isso assim... em cada pergunta ficas com...
- Uma exponencial, isso é uma exponencial!
- Não é nada exponencial nenhuma, pá. Deixa-me ir ali fazer umas contas... E não sei se é melhor um a um. Não ganharás mais se lá para o final eliminares mais do que um?
- Não, pá! Não! Vocês os dois! Uma matemática e um físico e tenho de ser eu a fazer as contas? Sou eu contra todos?
- Espera aí, deixa-me pensar melhor... isso não vai dar uma progressão?
- É isso, é isso! Ele afinal tem razão! É uma progressão geométrica. Eliminando um a um vais sempre somando o valor que já tens. Em cada jogada ficas com o dobro do que tinhas... É a história do matemático e do tabuleiro de xadrez!
- Qual tabuleiro de xadrez?
- Pois... bem me parecia que era uma progressão... Ao fim de n jogadas ficas com...
- Ficas com dois elevado a n, vezes os duzentos e cinquenta, a dividir por dois... Ficas com dois elevado a n menos um, a multiplicar pelos duzentos e cinquenta...
- Então o melhor é mesmo fazer só perguntas fáceis, vês? E dizias tu que ele era ignorante...
- É. Para eliminar o menor número de gajos de cada vez, o melhor é só fazer perguntas fáceis...
- Eihhh... Isso assim não tem piada nenhuma...

"The king laughed uproariously. A small sack of gold coins was brought in, and the counting began. The whole court was laughing by the time the coins reached the sixth square, for there were just 32. But by the 11th square, the little sack was depleted. A larger one was brought in. By the 12th square, the chessboard had to be abandoned, and the piles of coins kept on the floor, for the number had grown to 2,048. By the 25th square, the amount was 16,777,216 gold coins. Nobody was laughing any more. By the 37th square (68,719,476,736 gold coins), the king's coffers were empty. And 27 squares still remained..."